（跟上一章同样的理由）

伯克利基数：Berkeley 基数是Zermelo-Fraenkel集合论模型中的基数K，具有以下性质：

对于包含k和α＜k的每个传递集M，存在M的非平凡初等嵌入，其中a＜临界点＜K.Berkeley基数是比Reinhardt基数严格更强的基数公理，这意味着它们与选择公理不兼容。作为伯克利基数的弱化是，对于Vk上的每个二元关系R，都有(VK，R)的非平凡基本嵌入到自身中。

这意味着我们有基本的

j1，j2, j3...

j1:(Vk,∈)→(VK,∈),

j2：(VK,∈，j1)→(Vk,∈,j1),

j3:(Vk,∈,j1,j2)→(VK,∈，j1，j2)等等。

这可以持续任意有限次，并且在模型具有依赖性选择的范围内无限。

因此，似乎可以通过断言更多依赖性选择来简单地加强这一概念。对于每个序数入，存在一个ZF+Berkeley基数的传递模型，该模型在入序列下是封闭的，是不需要定义的类。

超级莱茵哈特基数：对于任一序数α，存在一j:V→V with j(K)＞α并具有临界点K，可以称为0=1是因为足够大的大基数公理会导致不一致性，从而使该系统下所有命题为真。

伯克利club：基数κ是伯克利基数，如果对于任何带κ的传递集k∈M和任何序数α＜κ，都会有一个初等嵌入j:M＜M和crit j＜k，如果真的存在伯克利基数，那么就会有对力迫扩张绝对，它使最小的伯克利基数有共尾性ω，通过对κ的施加一定的条件，似乎可以增强Berkeley性质，如果κ是Berkeley和α，α∈M且M有传递，那么对于任意α＜k，都有一个j:M＜M和α＜crit j＜k和crit j(a)=a，对于任意一个可传递的M?k都存在j:M?M与crit j＜K，基数是Berkeley，且仅当对于任何传递集M?κ存在j:M?M和α＜crit j＜k，因此δ≥k，δ也是伯克利，最小的伯克利基数也被称为δ_α，称κ为club-伯克利，如果κ是正则的，并且对于所有club→C?κ和所有带κ的传递集M∈M；有j∈ε(M)和crit (j)∈C，称κ为limit club伯克利，它是一个club伯克利基数/limit伯克利基数，如果K为最小的伯克利，则y＜k。

冯·诺依曼宇宙V

V?=?

V＿α+1=P(V＿α)

若λ为极限序数，则V_λ=∪_kλ V_k，

V=∪_k V_k，k跑遍所有序数，令ord为所有序数的类则V=∪_k∈ord V_k

V表示宇宙V，?表示初始状态，α表示任意序数，P表示幂集，∪表示并集，k表示序数。

可构造宇宙V=L

定义Def为一个包含所有X子集的集合。一个X的子集x位于Def(X)当且仅当存在一个一阶逻辑公式φ和u?,u?,u?,……∈X

使得x = {y∈X :φ?[y,u?,u?,u?,……]

然后:L?=?，L?=Def(L1)={?}=1，Ln+1=Def(Ln)=n，Lω=∪＿k＜ω Lω，Lλ=∪＿k＜λ λ is a limit ordinal?是极限序数

L=∪＿k Lk，k跑遍所有序数

宇宙V=终极L：

V=终极L的前置条件：

一个内模型是终极-L至少要见证一个超紧致基数。一个内模型是终极-L也可以至少见证超幂公理UA+地面公理GA+存在一个最小强紧致基数成立。一个内模型是终极-L必须是基于策略分支假设SBH。

如果V[G]是V的脱殊集合扩张并且V在V[G]的 ω? 序列下不封闭那么V[G]≠终极-L并且V[G]中普遍分区公理不成立。见证普遍分区公理成立。见证强普遍分区公理成立。终极L是一个典范内模型，并见证地面公理Ground Axiom成立。

V=终极L的直接推论：

见证最大基数伊卡洛斯的存在性。见证真类多的武丁基数终极L是最大的内模型。见证能够和选择公理兼容的最大的类- ADR 公理，并且θ是正则的。拥有最大的证明论序数。（即使序数分析目前远未到ZFC的水平）见证能够和选择公理兼容的最强的实数正则性质断言，见证 Ω 猜想成立，见证每一个集合都是遗传序数可定义的，HOD猜集合都是遗传序数可定义的，HOD猜想成立。

见证ZF+Reinhardt不一致。存在非平凡初等嵌入j:Lλ(H(λ+))→Lλ(H(λ+)) .

V是最小的脱殊复宇宙。

见证广义连续统假设成立，并且 ω? 上有一个均匀预饱和理想。见证正常力迫公理成立。存在包含武丁基数的真类。进一步地，对于每一个rank-existential 语句φ若φ在V中成立那么存在一个universally Baire 集AR使得有:HOD????‘??∩V＿Θ?φ，其中Θ=Θ???‘??(A, R) . (V=终极L)